Часть 1 Старинные способы умножения
Индийский способ умножения.
Самый ценный
вклад в сокровищницу математических знаний был совершен в Индии. Индусы
предложили употребляемый нами способ записи чисел при помощи десяти знаков: 1,
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.
Основа этого
способа заключается в идее, что одна и та же цифра обозначает единицы, десятки,
сотни или тысячи, в зависимости от того, какое место эта цифра занимает.
Занимаемое место, в случае отсутствия каких–нибудь разрядов, определяется
нулями, приписываемыми к цифрам.
Индусы
отлично считали. Они придумали очень простой способ умножения. Они умножение
выполняли, начиная со старшего разряда, и записывали неполные произведения как
раз над множимым, поразрядно. При этом сразу был виден старший разряд полного
произведения и, кроме того, исключался пропуск какой-либо цифры. Знак умножения
еще не был известен, поэтому между множителями они оставляли небольшое
расстояние. Например, умножим их способом 537 на 6:
|
537 6 (5 ∙
6 = 30)
(3 ∙ 6 =
18)
(7 ∙ 6 =
42)
|
30
+ 18
+ 42
3222
|
Умножение
способом «МАЛЕНЬКИЙ ЗАМОК».
Умножение
чисел сейчас изучают в первом классе школы.
А вот в
Средние века совсем немногие владели искусством умножения. Редкий аристократ
мог похвастаться знанием таблицы умножения, даже если он окончил европейский университет.
За
тысячелетия развития математики было придумано множество способов умножения чисел.
Итальянский математик Лука Пачоли в своём трактате «Сумма знаний по арифметике,
отношениям и пропорциональности»(1494г.) приводит восемь различных методов
умножения. Первый из них носит название «Маленький замок», а второй не менее
романтичное название «Ревность или решетчатое умножение».
Преимущество
способа умножения «Маленький замок» в том, что уже с самого начала определяются
цифры старших разрядов, а это бывает важно, если требуется быстро оценить
величину.
Цифры
верхнего числа, начиная со старшего разряда, поочередно умножаются на нижнее
число и записываются в столбик с добавлением нужного числа нулей. Затем
результаты складываются.
Способ умножения «ревность»
Второй
способ носит романтическое название «ревность», или «решётчатое умножение».
Сначала
рисуется прямоугольник, разделённый на квадраты, причём размеры сторон
прямоугольника соответствуют числу десятичных знаков у множимого и множителя.
Затем квадратные клетки, делятся по диагонали, и «…получается картинка, похожая
на решётчатые ставни-жалюзи, - пишет Пачоли. – Такие ставни вешались на окна
венецианских домов, мешая уличным прохожим видеть, сидящих у окон дам и
монахинь».
Умножим этим
способом 347 на 29. Начертим таблицу, запишем над ней число 347, а справа число
29.
В каждую
строчку запишем произведение цифр, стоящих над этой клеткой и справа от нее,
при этом цифру десятков произведения напишем над косой чертой, а цифру единиц –
под ней. Теперь складываем числа в каждой косой полосе, выполняя эту операцию,
справа налево. Если сумма окажется меньше 10, то ее пишем под нижней цифрой
полосы. Если же она окажется больше, чем 10, то пишем только цифру единиц
суммы, а цифру десятков прибавляем к следующей сумме. В результате получаем
искомое произведение 10063.
КРЕСТЬЯНСКИЙ СПОСОБ
В России несколько веков назад среди крестьян некоторых губерний был
распространен способ, который не требовал знание всей таблицы умножения. Надо
было лишь уметь умножать и делить на 2. Этот способ получил название КРЕСТЬЯНСКИЙ (существует
мнение, что он берет начало от египетского).
Пример: умножим 47 на 35,
- запишем числа на одной строчке,
проведём между ними вертикальную черту;
- левое число будем делить на 2,
правое – умножать на 2 (если при делении возникает остаток, то остаток
отбрасываем);
- деление заканчивается, когда
слева появится единица;
- вычёркиваем те строчки, в
которых стоят слева чётные числа; 35 + 70 + 140 + 280 + 1120 = 1645
- далее оставшиеся справа числа
складываем – это результат.
ПАЛЬЦЕВОЙ СЧЕТ
Древние египтяне были очень религиозны и
считали, что душу умершего в загробном мире подвергают экзамену по счёту на
пальцах. Уже это говорит о том значении, которое придавали древние этому
способу выполнения умножения натуральных чисел (он получил название ПАЛЬЦЕВОГО
СЧЕТА).
Умножали на пальцах однозначные числа от
6 до 9. Для этого на одной руке вытягивали столько пальцев, насколько первый
множитель превосходил число 5, а на второй делали то же самое для второго
множителя. Остальные пальцы загибали. После этого брали столько десятков,
сколько вытянуто пальцев на обеих руках, и прибавляли к этому числу
произведение загнутых пальцев на первой и второй руке.
·
·
Позже пальцевой счёт усовершенствовали – научились показывать с помощь
пальцев числа до 10000.
·
Итак, рассмотренные нами старинные способы умножения показывают, что
используемый в школе алгоритм умножения натуральных чисел - не единственный и
известен он был не всегда.
Новый способ
умножения.
Интересен
новый способ умножения, о котором недавно появились сообщения. Изобретатель
новой системы устного счёта кандидат философских наук Василий Оконешников
утверждает, что человек способен запоминать огромный запас информации, главное
– как эту информацию расположить. По мнению самого учёного, наиболее выигрышной
в этом отношении является девятеричная система – все данные просто располагают
в девяти ячейках, расположенных, как кнопочки на калькуляторе.
Считать по
такой таблице очень просто. К примеру, умножим число 15647 на 5. В части
таблицы, соответствующей пятёрке, выбираем числа, соответствующие цифрам числа
по порядку: единице, пятёрке, шестёрке, четвёрке и семёрке. Получаем: 05 25 30
20 35
Левую цифру
(в нашем примере - ноль) оставляем без изменений, а следующие цифры складываем
попарно: пятёрку с двойкой, пятёрку с тройкой, ноль с двойкой, ноль с тройкой.
Последняя цифра также без изменений.
В итоге
получаем: 078235. Число 78235 и есть результат умножения.
Если же при
сложении двух цифр получается число, превосходящее девять, то его первая цифра
прибавляется к предыдущей цифре результата, а вторая пишется на «своё» место.
Часть II. Приемы
быстрого счета.
1. Умножение на 11
«Краешки сложи, в серединку
положи» - эти слова помогут легко запомнить данный способ умножения на 11.
Чтобы двузначное число, сумма
цифр которого не превышает 10, умножить на 11, надо цифры этого числа
раздвинуть и поставить между ними сумму этих цифр.
Примеры:
72 ∙ 11 = 7 (7 + 2) 2 = 792;
35 ∙ 11 = 3 (3 + 5) 5 = 385.
Чтобы умножить на 11
двузначное число, сумма цифр которого 10 или больше 10, надо мысленно
раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к
первой цифре прибавить единицу, а вторую и последнюю (третью) оставить без
изменения.
Пример:
94 ∙ 11 = 9 (9 + 4) 4 = 9 (13)
4 = (9 + 1) 34 = 1034
68 
11 = 6 (6+8) 8 = 6 (14) 8 =
(6+1) 4 8 = 748
11 = 6 (6+8) 8 = 6 (14) 8 =
(6+1) 4 8 = 748
2. Умножение
на 11 по Трахтенбергу.
Разберем на примере: 633
умножить на 11.
Ответ пишется под 633 по одной
цифре справа налево, как указано в правилах.
Первое правило. Напишите
последнюю цифру числа 633 в качестве правой цифры результата
633*11
3
Второе правило. Каждая
последующая цифра числа 633 складывается со своим правым соседом и записывается
в результат.3+3 будет 6. Перед тройкой записываем результат 6.
633*11
63
Применим правило еще раз: 6+3
будет 9. Записываем и эту цифру в результате:
633*11
963
Третье правило. Первая цифра
числа 633, то есть 6, становится левой цифрой результата:
633*11
6963
Ответ: 6963.
1.
Умножение на
22, 33, ..., 99
Чтобы двузначное число
умножить на 22, 33, ..., 99, надо этот множитель представить в виде
произведения однозначного числа (от 2 до 9) на 11, то есть 44 = 4 ∙11; 55 = 5 ∙
11 и т.д. Затем выполнить умножение сначала на однозначное число, а потом на
11:
Примеры:
24 ∙ 22 = 24 ∙ 2 ∙ 11 = 48 ∙
11 = 528
23 ∙ 33 = 23 ∙ 3 ∙ 11 = 69 ∙
11 = 759
4. Умножение на число 111,
1111 и т. д., зная правила умножения двузначного числа на число 11.
Если сумма цифр первого
множителя меньше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа на 2, 3 и т.д.
шага, сложить цифры и записать соответствующее количество раз их сумму между
раздвинутыми цифрами. Количество шагов всегда меньше количества единиц на 1.
Примеры:
24∙111=2(2+4) (2+4)4=2664
(количество шагов - 2)
24∙1111=2(2+4)(2+4)(2+4)4=26664
(количество шагов - 3)
При умножении числа 72 на
111111 цифры 7 и 2 надо раздвинуть на 5 шагов. Эти вычисления можно легко
произвести в уме.
72 ∙ 111111 = 7999992
(количество шагов – 5)
Если единиц во втором
множителе 7, то шагов будет на один меньше, т.е. 6.
Если единиц 8, то шагов будет
7 и т.д.
61 ∙ 11111111 = 677777771
Эти вычисления можно легко
произвести в уме.
Умножение двузначного числа на
111, 1111, 1111 и т.д., сумма цифр которого равна или больше 10.
Немного сложнее выполнить
устное умножение, если сумма цифр первого множителя равна 10 или более 10.
Примеры:
48 ∙ 111 = 4 (4+8) (4+8) 8= 4
(12) (12) 8 = (4+1) (2+1) 28 = 5328.
В этом случае к первой цифре
нужно прибавить 1. получим 5.
Далее 2 + 1 = 3. А последние
цифры 2 и 8 оставляем без изменения.
86 ∙ 111 = 8 (8+6) (8+6) 6 = 8
(14) (14) 6 = (8+1) (4+1) 46 = 9546.
В этом случае надо к первой
цифре 8 прибавить 1, получим 9, далее 4+1 = 5; а последние цифры 4 и 6
оставляем без изменения. Получаем ответ 9546.
56 ∙11111 = 5 (5+6) (5+6)
(5+6) (5+6) 6 = 5 (11) (11) (11) (11) 6 = 622216
67 ∙ 1111 = 6 (6+7)…7 = 6
(13)…7 = 74437
5. Умножение двузначного
числа на 101, 1001 и т.д..
Пожалуй, самое простое
правило: припишите ваше число к самому себе. Умножение закончено.
Примеры:
32 ∙ 101 = 3232;
47 ∙101 = 4747;
324 ∙ 1001 = 324 324;
675 ∙ 1001 = 675 675;
6478 ∙10001 = 64786478;
846932 ∙ 1000001 =
846932846932.
6. Умножение на 9.
Чтобы умножить число на 9, к
нему приписывают 0 и отнимают исходное число. Примеры:
241 ∙ 9 = 2410 – 241 = 2169
847 ∙ 9 = 8470 – 847 = 7623
7. Умножение на 99, на 999.
Умножение на 99, на 999
осуществляется тем же способом, что и на 9.
В этих случаях приписывают
два, три нуля и вычитают множимое число.
324 · 99 = 32400 – 324 = 32076
546 · 999 = 546000 – 546 =
545454
8. Умножение трёхзначного
числа на 999.
Любопытная особенность числа
999 проявляется при умножении на него всякого другого трёхзначного числа. Тогда
получается шестизначное произведение: первые три цифры есть умножаемое число,
только уменьшенное на единицу, а остальные три цифры (кроме последней) –
«дополнения» первых до 9.
Примеры: 385 ∙ 999 = 384615
573 ∙ 999 = 572427 943 ∙ 999 = 942057
9. Умножение на число,
записанное одними девятками.
Для того чтобы найти
произведение числа написанного одними девятками на число имеющее с ним
одинаковое количество цифр надо от множителя отнять единицу и к получившемуся
числу приписать другое число все цифры которого дополняют цифры указанного
получившегося числа до 9.
8 ∙ 9= 72;
46 ∙ 99= 4554;
137 ∙ 999= 136 863;
3562 ∙ 9999= 35616438.
10. Умножение на 5, 25,
125.
Разделить число соответственно
на 2, 4, 8 и результат умножить на 10, 100, 1000. Если множитель не делится
нацело на 2, 4 или на 8, то деление производится с остатком. Затем частное
умножают соответственно на 10, 100 или 1000, а остаток – на 5, 25 или 125.
Примеры:
46∙5=46∙10:2=230,
67∙25=67∙100:4=1675,
28∙125=28∙10008=3500.
11. Умножение на 37.
При умножении числа на 37,
если данное число делится на 3,его делят на 3 и умножают на 111, так как
37*3=111.
Примеры:
27∙37=(27:3) ∙ (37∙3)=9∙111=999
45∙37=(45:3) ∙
(37∙3)=15∙111=1665
Если же данное число не
делится без остатка на 3, то из произведения вычитают 37 или к произведению
прибавляют 37.
Примеры:
23∙37=(24-1) ∙37=(24:3) ∙
(37∙3)-37=8∙111-37=888-37=851.
31∙37=(30+1) ∙37=(30:3) ∙
(37∙3)+37=10∙111+37=1110+37=1147
12. Умножение чисел,
близких к 100 и 1000.
Я хочу рассказать вам про один
из вариантов простого умножения чисел близких к 100. Например, нам надо
перемножить числа 96 и 97. Не надо бросаться за калькулятором или начинать считать
столбиком. Мой вариант быстр и прост. Мы найдем вспомогательные числа. Их
находим вычитанием доступного нам числа от 100. В нашем случая получается, что
вспомогательные числа это 4 и 3. Дальше можем забыть о данных нам числах.
Теперь найдем цифры стоящие вначале необходимого нам числа: мы складываем 4 и
3, а затем получившееся число отнимаем от 100. Получается: 4+3=7, 100-7=93.
Значит в начале нашего числа стоит цифра 93. Затем найдем последние цифры
необходимого нам числа: мы просто перемножаем 4 и 3. Получается 12 — это
последние цифры нашего числа. У нас получилось число 9312. Значит 96*97=9312.
Можете проверить на калькуляторе. Вот такой простой способ решения сложного
произведения. Примеры:
95·89= 8455
1) 100-95=5,
2) 100-89=11.
3) 100-(5+11)=100-16=84 –
первые цифры,
4) 5·11=55 – последние цифры.
93·87= 8091.
1)100-93=7,
2)100-87=13,
3) 100-(7+13) =100-20=80 –
первые цифры,
4) 7·13=91 – последние цифры.
Комментариев нет:
Отправить комментарий